Граница снежинки, придуманной Гельгом фон Кохом в 1904 году (рис. 2.2), описывается кривой, составленной из трех одинаковых фракталов размерности . Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть - начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на рис. 2.3. Назовем полученное множество . Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через фигуру, получившуюся после n-го шага.

Рис. 2.2. Снежинка Коха

Интуитивно ясно, что последовательность кривых сходится к некоторой предельной кривой К. Мы проведем строгое математическое исследование сходимости таких последовательностей кривых и других множеств в п. 3.5 и в прил. А.3. Пока что предположим, что кривая К существует, и рассмотрим некоторые ее свойства.

Рис. 2.3. а) , б) , в) , г)

Если взять копию К, уменьшенную в три раза то все множество К можно составить из таких копий. Следовательно, отношение самоподобия (2.1) выполняется при указанных N и , а размерность фрактала будет:

Еще одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха - ее бесконечная длина (см. теорему 2.1.1). Это может показаться удивительным читателю, привыкшему иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие, они всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерения длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Первые этапы построения кривой Коха

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация - ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана - как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n–1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний - формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a . Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n -м шаге будет достроено T n = 3 · 4 n–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n . Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равенT n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Поэтому после n -го шага площадь фигуры будет равна сумме S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна.

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N(δ) ~ (1/δ)D, где N - число пересекающихся квадратиков, δ - их размер, D - размерность, получаем, что D = log 1/δ N. Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на левом рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log 9 12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Справа квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log 3 4, а в пределе и вовсе совпадет.

Варианты

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.
Линии Чезаро . Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.
Квадратный вариант . Тут достраиваются квадраты.
Трехмерные аналоги . Пространство Коха.

Всем привет! У всех студентов, и у меня в том числе, началась летняя сессия. Все сдают зачеты и лабы, закрывают пропуски и т.п.

Я давно сдал все лабы, и у меня осталось несколько программ, которые, думаю, многим еще пригодятся. Все они в основном на Паскале и Делфи. Я писал уже о . В этом посте пойдет речь о снежинке Коха на Паскале (Pascal).

Фракталы наверняка вам знакомы и я не буду писать о том, что это такое и с чем их "едят". Давайте просто сразу перейдем к коду. Он на языке Паскаль и адаптирован под PascalABC (скачать PascalABC можно с официального сайта ). Это не мой код, я нашел его на одном из форумов. Я лишь чуть-чуть изменил его, проще говоря, удалил лишнее.

Снежинка Коха на Паскале (Pascal)

uses GraphABC; procedure Draw(x, y, l, u: Real; t: Integer); procedure Draw2(Var x, y: Real; l, u: Real; t: Integer); begin Draw(x, y, l, u, t); x:= x + l*cos(u); y:= y - l*sin(u); end; begin if t > 0 then begin l:= l/3; Draw2(x, y, l, u, t-1); Draw2(x, y, l, u+pi/3, t-1); Draw2(x, y, l, u-pi/3, t-1); Draw2(x, y, l, u, t-1); end else Line(Round(x), Round(y), Round(x+cos(u)*l), Round(y-sin(u)*l)) end; begin SetWindowSize(425,500); SetWindowCaption("Фракталы: Снежинка Коха"); Draw(10, 354, 400, pi/3, 4); Draw(410, 354, 400, pi, 4); Draw(210, 8, 400, -pi/3, 4); end.

Вот такая снежинка у вас должна получиться:

Вкратце про параметры процедуры Draw:

1 и 2 параметр - это координаты начальной точки, откуда будет рисоваться линия;

3 - длина линии;

4 - полярный угол;

5 - количество шагов.

Можете поэкспериментировать с количеством шагов, и получится что-то вроде этого:

Кривая Коха на Паскале (Pascal)

Как вы поняли, снежинка рисуется из 3-х кривых Коха. И для того чтобы нарисовать кривую Коха, используем тот же код с разницей лишь той, что процедура Draw вызывается один раз и с другими параметрами.

Uses GraphABC; procedure Draw(x, y, l, u: Real; t: Integer); procedure Draw2(Var x, y: Real; l, u: Real; t: Integer); begin Draw(x, y, l, u, t); x:= x + l*cos(u); y:= y - l*sin(u); end; begin if t > 0 then begin l:= l/3; Draw2(x, y, l, u, t-1); Draw2(x, y, l, u+pi/3, t-1); Draw2(x, y, l, u-pi/3, t-1); Draw2(x, y, l, u, t-1); end else Line(Round(x), Round(y), Round(x+cos(u)*l), Round(y-sin(u)*l)) end; begin SetWindowSize(425,500); SetWindowCaption("Фракталы: Кривая Коха"); Draw(10, 254, 400, 0, 4); end.

Как видите, изменилось мало чего: полярный угол стал равен нулю и начальная точка смещена немного вверх. И вот что получилось:

Разбираться в коде я не стал, но если возникнут вопросы - пишите в комментариях. Вместе разберемся.

Геометрическая фигура снежинка Коха выглядит так



Рисуют снежинку Коха так



А есть еще и пирамида Коха



Более подробно можно узнать по какой схеме рисуется снежинка Коха из нижеприведенного видео. Кто-то может и поймет, я пас.

Для начала рассмотрим эту снежинку Коха. Лучше всего нам покажет схема, приведенная внизу.



То есть для рисования данной снежинки нужно воспользоваться отдельными геометрическими фигурами, из которых и состоит этот геометрический фрактал.



Основой нашего рисунка является равносторонний треугольник. Каждая сторона разделяется на три отрезка, от которых строятся следующие, поменьше, равносторонние треугольники. С полученными треугольниками проводится та же операция и так несколько раз.

Снежинка Коха - то фигура одна из первых исследованных учеными фракталов. Снежинка получается из трех копий кривой Коха, информация об этом открытии появилась в 1904 году в статье шведского математика Хельге фон Коха. По сути, кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную линию ни в одной точке. Кривая Коха простая в своей конструкции.

Пример, фото-рисунка картинки снежинки Коха с поэтапным черчением.



На этой схеме можно подробно рассмотреть линии, с которых потом получится снежинка Коха.

А это уже интерпретация новой снежинки на основе снежинки Коха.



Прежде чем понять как рисовать снежинку Коха , надо определить что это вообще такое.

Так вот, снежинкой Коха называют геометрическое изображение - фрактал.

Полное определение понятия снежинка Коха дано на картинке ниже.

Кривая Коха - фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

У меня порой бывают заскоки, когда хочется какую-то мат. задачку запрограммировать. На этот раз решил с фракталами повозиться. А именно со снежинкой Коха.

Снежинка Коха

Этот фрактал - один из первых исследованных учёными. Он получается из трёх копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке.

Основные свойства кривой Коха:

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема.
2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3)n–1. Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена.

Немного математики

Довольно интересно иногда вспомнить простейшие мат. преобразования (: В данном случае необходимо было освежить знания о векторах и трансформации точек в плоскости.

В частности, как повернуть точку относительно другой точки:

Ну и необходимо знать, как найти точку на отрезке, отдалённую на какое-то расстояние от точки, зная это расстояние и координаты точек. Методов так-то много. Можно найти координаты прямой, содержащую точки эти, а потом подставлять в уравнение. Можно вычислить координаты, используя вектора.

Выглядит как-то так.